Wat is de betekenis en het verschil tussen onzekerheid en fouten (tolerantie)

Onzekerheid en fouten

Bij het meten van fysieke grootheden zoals lengte, gewicht of tijd kunnen er fouten optreden tijdens het meetproces, wat de resultaten beïnvloedt. Deze fouten worden fouten genoemd. Fouten kunnen worden veroorzaakt door verschillende factoren, zoals defecte meetinstrumenten, menselijke fouten bij het aflezen van metingen of problemen met het meetsysteem. Als een thermometer bijvoorbeeld niet goed werkt en een onjuiste temperatuur aangeeft, zal elke meting die ermee wordt uitgevoerd, een bepaald bedrag afwijken. Dit maakt onze metingen onzeker omdat ze niet precies overeenkomen met de werkelijke waarde. Wanneer we niet zeker zijn van de werkelijke waarde van een meting, overwegen we een bereik van mogelijke waarden, bekend als het onzekerheidsbereik. Het begrijpen van onzekerheid en fouten is cruciaal omdat het ons helpt om beter geïnformeerde beslissingen te nemen op basis van de beschikbare informatie.

Het verschil tussen onzekerheid en fouten

Zowel fouten als onzekerheden zijn belangrijke concepten bij metingen, maar ze hebben verschillende betekenissen. Een fout is het numerieke verschil tussen de werkelijke waarde en de gemeten waarde. Onzekerheid is daarentegen een schatting van het bereik waarbinnen de werkelijke waarde waarschijnlijk ligt, op basis van de betrouwbaarheid van de meting.

Laten we een voorbeeld bekijken van het meten van weerstand. Stel dat de geaccepteerde waarde voor de weerstand van een materiaal 3.4 ohm is. Wanneer we het twee keer meten en waarden van 3.35 ohm en 3.41 ohm krijgen, zijn de verschillen tussen deze gemeten waarden en de geaccepteerde waarde fouten. Het bereik tussen de twee gemeten waarden, dat 0.06 ohm is (3.41 – 3.35), vertegenwoordigt het onzekerheidsbereik.

Een ander voorbeeld is het meten van de gravitatieconstante in een laboratorium. De geaccepteerde standaard voor gravitatieversnelling is 9.81 m/s². In een experiment met een slinger verkrijgen we waarden zoals 9.76 m/s², 9.6 m/s², 9.89 m/s² en 9.9 m/s². Deze variaties van de geaccepteerde waarde zijn fouten. De gemiddelde waarde van deze metingen is 9.78 m/s² en het onzekerheidsbereik is van 9.6 m/s² tot 9.9 m/s². De absolute onzekerheid is ongeveer de helft van dit bereik, berekend als (9.9 – 9.6) / 2 = 0.15 m/s².
Het begrijpen van fouten en onzekerheden helpt ons de betrouwbaarheid van onze metingen te beoordelen en het bereik van mogelijke waarden voor de werkelijke hoeveelheid te bepalen. Deze kennis is essentieel voor het nemen van weloverwogen beslissingen op basis van de verzamelde gegevens.

Wat is de standaardfout in het gemiddelde?

De standaardfout in het gemiddelde is een waarde die aangeeft hoeveel de metingen afwijken van de gemiddelde waarde. Om het te berekenen, volgt u deze stappen:

1. Bereken het gemiddelde: Zoek het gemiddelde van alle metingen.
2. Aftrekken en kwadrateren: Trek het gemiddelde van elke gemeten waarde af en kwadrateer de resultaten.
3. Tel de waarden op: Tel alle afgetrokken waarden bij elkaar op.
4. Deel door de vierkantswortel van de steekproefomvang: Deel de som door de vierkantswortel van het totale aantal uitgevoerde metingen.

Stel je bijvoorbeeld voor dat je een object vier keer weegt. Het object weegt precies 3.0 kg met een precisie van minder dan één gram. Je vier metingen zijn 3.001 kg, 2.997 kg, 3.003 kg en 3.002 kg.

• Bereken eerst het gemiddelde: (3.001 kg + 2.997 kg + 3.003 kg + 3.002 kg) / 4 = 3.00075 kg. Omdat onze metingen slechts drie significante cijfers achter de komma hebben, nemen we de waarde als 3.000 kg.
• Trek vervolgens het gemiddelde van elke meting af en kwadrateer het resultaat:
(3.001 kg – 3.000 kg)² = 0.000001 kg²
(2.997 kg – 3.000 kg)² = 0.000009 kg²
(3.003 kg – 3.000 kg)² = 0.000009 kg²
(3.002 kg – 3.000 kg)² = 0.000004 kg²
Als we alleen rekening houden met drie significante cijfers na de komma, kunnen we de eerste waarde benaderen als 0.
• Tel vervolgens alle gekwadrateerde verschillen bij elkaar op: 0 + 0.000009 kg² + 0.000009 kg² + 0.000004 kg² = 0.000022 kg²
• Deel ten slotte door de vierkantswortel van het aantal monsters (√4 = 2): √(0.000022 kg² / 4) = 0.002 kg

In dit geval is de standaardfout van het gemiddelde (σx) erg klein, wat aangeeft dat onze metingen dicht bij de werkelijke waarde van het gewicht van het object liggen.

Wat zijn kalibratie en tolerantie?

Tolerantie verwijst naar het bereik tussen de maximaal en minimaal toegestane waarden voor een meting. Kalibratie is daarentegen het proces van het aanpassen van een meetinstrument om ervoor te zorgen dat alle metingen binnen het tolerantiebereik vallen. Om een ​​instrument te kalibreren, worden de meetresultaten vergeleken met die van nauwkeurigere en preciezere instrumenten of met een referentieobject met een bekende hoge precisiewaarde.

Een voorbeeld is de kalibratie van een weegschaal

Kalibratie is geen eenmalige taak. Weegschalen moeten regelmatig opnieuw worden gekalibreerd om hun nauwkeurigheid te behouden. Omgevingsfactoren zoals temperatuur, vochtigheid en luchtdruk kunnen de metingen van een weegschaal beïnvloeden. Veranderingen in temperatuur kunnen er bijvoorbeeld voor zorgen dat de metalen componenten van een weegschaal uitzetten of krimpen, wat leidt tot onnauwkeurige metingen. Daarom is het belangrijk om rekening te houden met deze omgevingsfactoren tijdens de kalibratie.

Ook is het cruciaal om bij het kalibreren van een weegschaal de juiste gewichten te gebruiken. Gewichten gebruiken die te zwaar of te licht zijn, kunnen het kalibratieproces verstoren en de nauwkeurigheid van de weegschaal beïnvloeden. Over het algemeen is het kalibreren van een weegschaal een essentiële stap in het verkrijgen van nauwkeurige en betrouwbare metingen. Het volgen van de juiste kalibratieprocedures en regelmatige herkalibratie zijn essentieel voor het behouden van de nauwkeurigheid van de weegschaal.

Hoe wordt onzekerheid gerapporteerd?

Bij het presenteren van meetresultaten is het belangrijk om de bijbehorende onzekerheid te melden. Dit helpt anderen de potentiële variatie in de meting en het niveau van vertrouwen in de gerapporteerde waarde te begrijpen.

Als we bijvoorbeeld een weerstandswaarde van 4.5 ohm meten met een onzekerheid van 0.1 ohm, rapporteren we dit als 4.5 ± 0.1 ohm. Dit geeft aan dat we er zeker van zijn dat de werkelijke waarde van de weerstand binnen het bereik van 4.4 ohm tot 4.6 ohm ligt.

Onzekerheidswaarden zijn relevant in veel vakgebieden, waaronder fabricage, ontwerp, architectuur, mechanica en geneeskunde. Ze spelen een cruciale rol bij het nauwkeurig meten en rapporteren van resultaten. Door onzekerheidswaarden te rapporteren, kunnen we fouten minimaliseren en de kwaliteit van onze metingen verbeteren, wat essentieel is in wetenschappelijk onderzoek, techniek en gezondheidszorg.

Wat zijn absolute en relatieve fouten?

Meetfouten kunnen worden geclassificeerd als absoluut of relatief. Absolute fouten beschrijven het verschil tussen de gemeten waarde en de verwachte waarde. Relatieve fouten meten daarentegen hoe significant dit verschil is in relatie tot de werkelijke waarde.

Absolute fout

Om de absolute fout te berekenen, gebruikt u de formule: Absolute fout = gemeten waarde – verwachte waarde. Bijvoorbeeld, als de verwachte waarde 1.4 m/s is en de gemeten waarde 1.42 m/s, dan is de absolute fout 1.42 m/s – 1.4 m/s = 0.02 m/s.

Het is belangrijk om op te merken dat absolute fout positief of negatief kan zijn. Een positieve absolute fout betekent dat de gemeten waarde hoger is dan de verwachte waarde, terwijl een negatieve absolute fout betekent dat de gemeten waarde lager is. In dit geval is de gemeten waarde iets hoger dan de verwachte waarde, omdat de absolute fout positief is.

Hoewel absolute fout nuttig is voor het beoordelen van de nauwkeurigheid van een enkele meting, geeft het geen informatie over de precisie van de meting. Om precisie te evalueren, moeten we kijken naar het bereik van waarden verkregen uit meerdere metingen van dezelfde hoeveelheid.

Relatieve fout

Relatieve fout is een maatstaf voor het verschil tussen de gemeten waarde en de verwachte waarde, uitgedrukt als een percentage van de verwachte waarde. Het is met name handig voor het vergelijken van fouten in waarden van verschillende groottes, omdat het rekening houdt met de schaal van de gemeten waarden.

De formule voor relatieve fout is: Relatieve fout = (absolute fout / verwachte waarde) x 100%. Met behulp van het vorige voorbeeld waarbij de absolute fout 0.02 m/s was en de verwachte waarde 1.4 m/s was, is de relatieve fout (0.02 m/s / 1.4 m/s) x 100% ≈ 1.43%.

Zoals we kunnen zien, is de relatieve fout kleiner dan de absolute fout omdat het rekening houdt met de grootte van de waarden. In dit geval is het verschil tussen de gemeten waarde en de verwachte waarde slechts 1.43% van de verwachte waarde.

Een ander voorbeeld om het verschil in schaal te illustreren is een fout in een satellietbeeld. Als een fout in een satellietbeeld 10 meter is, lijkt deze groot als je kijkt naar afstanden op menselijke schaal. Als het beeld echter 10 kilometer bij 10 kilometer meet, is een fout van 10 meter relatief klein, aangezien het slechts 0.1% van het totale gebied is (aangezien 10 km = 10000 m, en 10 / (10000×10000)×100% = 0.0001% in termen van oppervlakteverhouding). Door de relatieve fout als percentage te rapporteren, kunnen lezers de betekenis van de fout in relatie tot de verwachte waarde beter begrijpen.

Onzekerheden en fouten in kaart brengen

Onzekerheden worden doorgaans weergegeven als balken in grafieken en diagrammen. Deze balken strekken zich uit van de gemeten waarde tot de maximaal en minimaal mogelijke waarden. Het bereik tussen de maximaal en minimaal waarden is het onzekerheidsbereik. Zie het volgende voorbeeld van onzekerheidsbalken:

‍

Plot met de gemiddelde waardepunten van elke meting. De balken die zich vanaf elk punt uitstrekken, geven aan hoeveel de gegevens kunnen variëren

‍Beschouw bijvoorbeeld een experiment waarbij u de snelheid meet van een bal die een afstand van 10 meter aflegt. De snelheid van de bal neemt af naarmate hij beweegt. U markeert 1-meter verdelingen en gebruikt een stopwatch om de tijd te meten die de bal nodig heeft om tussen elke verdeling te bewegen. Vanwege de vertraging in uw reactie op het starten en stoppen van de stopwatch, is er een onzekerheid van 0.2 m/s. Stel dat u snelheidswaarden van 1.4 m/s, 1.22 m/s, 1.15 m/s en 1.01 m/s verkrijgt. De metingen, inclusief de onzekerheid, worden gerapporteerd als 1.4 ± 0.2 m/s, 1.22 ± 0.2 m/s, 1.15 ± 0.2 m/s en 1.01 ± 0.2 m/s. De grafiek van de resultaten kan als volgt worden gerapporteerd:

De plot toont een geschatte weergave. De stippen vertegenwoordigen de werkelijke waarden van 1.4 m/s, 1.22 m/s, 1.15 m/s en 1.01 m/s. De balken vertegenwoordigen de onzekerheid van ±0.2 m/s

In een grafiek representeren de stippen de werkelijke gemeten waarden (1.4 m/s, 1.22 m/s, 1.15 m/s en 1.01 m/s), en de balken die zich uitstrekken vanaf elke stip representeren de onzekerheid van ±0.2 m/s. Deze visuele representatie helpt om snel het bereik te begrijpen waarbinnen de werkelijke waarde voor elke meting zou kunnen liggen.

Hoe worden onzekerheden en fouten gepropageerd?

Bij het uitvoeren van berekeningen met waarden met onzekerheden en fouten, is het essentieel om rekening te houden met deze onzekerheden in de berekeningen, omdat ze de nauwkeurigheid van het uiteindelijke resultaat kunnen beïnvloeden. Dit proces staat bekend als onzekerheidspropagatie of foutpropagatie en kan leiden tot een afwijking van de werkelijke gegevens, ook wel datadeviatie genoemd.

Er zijn twee veelvoorkomende benaderingen van onzekerheidspropagatie: percentagefout en absolute fout. Bij de percentagefoutbenadering berekenen we de relatieve fout voor elke meting en tellen we deze op om de algehele percentagefoutpropagatie te bepalen. Bij de absolutefoutbenadering tellen we de absolute fouten van elke meting op om de algehele absolutefoutpropagatie te vinden.

Als we bijvoorbeeld de zwaartekrachtversnelling meten als 9.91 m/s² met een onzekerheid van ±0.1 m/s² en de massa van een object als 2 ± 0.001 kg, dan is de relatieve fout voor de zwaartekrachtversnelling (0.1 / 9.91)×100% ≈ 1% en de relatieve fout voor de massa is (0.001 / 2)×100% = 0.05%. Om de algehele procentuele foutvoortplanting te vinden, tellen we deze relatieve fouten bij elkaar op.

Om de onzekerheidsvoortplanting in het resultaat van een berekening te berekenen, moeten we de verwachte waarde berekenen met inbegrip van de onzekerheden. Bijvoorbeeld, bij het berekenen van de kracht die wordt geproduceerd door een vallend object met behulp van de formule F = m * g (waarbij m de massa is en g de zwaartekrachtversnelling), berekenen we de kracht met behulp van de gemeten waarden samen met hun onzekerheden. Het resultaat wordt vervolgens uitgedrukt als 'verwachte waarde ± onzekerheidswaarde'.

Het melden van onzekerheden en fouten in onze resultaten is van groot belang, zodat anderen de nauwkeurigheid en betrouwbaarheid van onze metingen en berekeningen kunnen beoordelen.

Onzekerheden melden

Om een ​​meetresultaat met onzekerheid te rapporteren, schrijven we de berekende waarde gevolgd door de onzekerheid. We kunnen de hoeveelheid ook tussen haakjes zetten voor de duidelijkheid. Als we bijvoorbeeld een kracht meten en ontdekken dat de kracht een onzekerheid heeft van 0.21 Newton en onze gemeten waarde is 19.62 Newton, rapporteren we dit als 19.62 ± 0.21 Newton of (19.62 ± 0.21) N.

Voortplanting van onzekerheden

Bij het propageren van onzekerheden in berekeningen gelden specifieke regels voor verschillende rekenkundige bewerkingen:

• Optellen en aftrekken: Bij het optellen of aftrekken van waarden is de totale onzekerheid de som van de individuele onzekerheden. Als we bijvoorbeeld twee metingen hebben (A ± a) en (B ± b) en we tellen deze op, is het resultaat (A + B) ± (a + b). Stel dat we twee stukken metaal optellen met lengtes van 1.3 m en 1.2 m, met onzekerheden van respectievelijk ±0.05 m en ±0.01 m. De totale lengte is 1.3 + 1.2 = 1.5 m en de totale onzekerheid is ±(0.05 m + 0.01 m) = ±0.06 m.

• Vermenigvuldiging met een exact getal: Bij het vermenigvuldigen van een waarde met een exact getal, wordt de totale onzekerheid berekend door de onzekerheid te vermenigvuldigen met dat exacte getal. Bijvoorbeeld, als we de oppervlakte van een cirkel met straal r = 1 ± 0.1 m berekenen, en de formule voor de oppervlakte van een cirkel is A = πr². De onzekerheid in de oppervlakte is 2πr×0.1. Door r = 1 m te substitueren, krijgen we 2×3.1415×1×0.1 = 0.6283 m² (geschatte onzekerheidswaarde).

• Delen door een exact getal: Bij het delen van een waarde door een exact getal, wordt de totale onzekerheid berekend door de onzekerheid te delen door die exacte waarde. Bijvoorbeeld, als we een lengte van 1.2 m hebben met een onzekerheid van ±0.03 m en deze delen door 5, is de onzekerheid in het resultaat ±0.03 / 5 = ±0.006 m.

Gegevensafwijking

Bij het uitvoeren van berekeningen met waarden die onzekerheden hebben, zullen de resulterende gegevens afwijken van de werkelijke gegevens. We kunnen deze afwijking berekenen met behulp van de gegevensafwijking (weergegeven door het symbool 'δ'). De berekening van de gegevensafwijking is afhankelijk van het type bewerking dat op de waarden is uitgevoerd.

• Datadeviatie na optellen of aftrekken: Om de datadeviatie van het resultaat te berekenen, gebruiken we de formule δ = √(a² + b²), waarbij a en b de onzekerheden zijn van de waarden die worden opgeteld of afgetrokken. Als we bijvoorbeeld twee waarden aftrekken, A = 10 ± 0.2 en B = 8 ± 0.3, is het resultaat C = A – B = 2 ± 0.4. De datadeviatie van C is δ = √(0.2² + 0.3²) = √(0.04 + 0.09) = 0.36.

• Gegevensafwijking na vermenigvuldiging of deling: Voor vermenigvuldiging of deling van meerdere metingen gebruiken we de verhouding onzekerheid – reële waarde. Als we twee waarden hebben A ± a en B ± b, en we vermenigvuldigen deze, is het resultaat C = A * B ± (A*B) * √((a/A)² + (b/B)²). Als er meer dan twee waarden zijn, voegen we meer termen toe aan de vergelijking.

• Gegevensafwijking als exponenten betrokken zijn: Als een waarde een exponent heeft, vermenigvuldigen we de exponent met de onzekerheid en passen we vervolgens de vermenigvuldigings- en delingsformule toe. Als we bijvoorbeeld y = (A ± a)² * (B ± b)³ hebben, is de gegevensafwijking δ = √((2Aa)² + (3Bb)²). Als er meer dan twee waarden zijn, worden er extra termen aan de vergelijking toegevoegd.

Door de afwijking van de gegevens te berekenen, kunnen we de impact van onzekerheden op onze resultaten beoordelen en de nauwkeurigheid en betrouwbaarheid van onze metingen en berekeningen bepalen.

Bij het verwerken van fouten en onzekerheden wordt het afronden van getallen vaak een essentiële stap om de waarden hanteerbaarder te maken. Dit geldt met name bij het omgaan met minuscule of extreem grote onzekerheden die een verwaarloosbare impact hebben op de algehele resultaten. Afronden kan het verhogen van de waarde (naar boven afronden) of het verlagen ervan (naar beneden afronden) inhouden.

Bijvoorbeeld, bij het meten van de gravitatieconstante op aarde, kan de gemeten waarde 9.81 m/s² zijn met een onzekerheid van ±0.10003 m/s². Hier is het deel van de onzekerheidswaarde na de eerste decimaal, 0.0003, minuscuul in vergelijking met de algehele onzekerheid van 0.1. Als gevolg hiervan is het redelijk om de cijfers na de eerste decimaal weg te laten en de onzekerheid af te ronden op ±0.1 m/s², aangezien deze vereenvoudiging de integriteit van de meting niet noemenswaardig zal beïnvloeden.

Het is echter van het grootste belang om in gedachten te houden dat afronding zelf extra fouten kan introduceren, met name wanneer het aantal significante cijfers tot een zeer laag niveau wordt teruggebracht. Daarom is het cruciaal om, voordat u besluit om waarden af ​​te ronden of af te kappen, het vereiste nauwkeurigheidsniveau voor de metingen en berekeningen die u uitvoert, zorgvuldig te beoordelen.

Afronden van gehele getallen en decimalen

Het proces van het afronden van getallen vereist het bepalen welke waarden significant zijn, rekening houdend met zowel de omvang van de gegevens als het gewenste nauwkeurigheidsniveau voor de metingen en berekeningen. Bij het afronden zijn er twee primaire benaderingen: afronden naar boven en afronden naar beneden. De keuze tussen deze twee hangt af van het cijfer dat direct volgt op het laagste significante cijfer.

Bij het afronden naar boven elimineren we de minder significante cijfers. Bijvoorbeeld, 3.25 kan worden afgerond naar 3.3. Omgekeerd, bij het afronden naar beneden, elimineren we ook de cijfers die als minder relevant worden beschouwd. Bijvoorbeeld, 76.24 kan worden afgerond naar 76.2.
Als algemene regel geldt dat als een getal eindigt met een cijfer in het bereik van 1 tot 4, het naar beneden wordt afgerond. Als het cijfer aan het einde in het bereik van 5 tot 9 ligt, wordt het naar boven afgerond. Met name als het cijfer 5 is, wordt het doorgaans naar boven afgerond. Bijvoorbeeld, 3.15 en 3.16 worden afgerond naar 3.2, terwijl 3.14 naar beneden wordt afgerond naar 3.1.

Wanneer we voor een probleem staan, kunnen we vaak het vereiste aantal decimalen (of significante cijfers) afleiden uit de gegeven gegevens. Als een grafiek of een set gegevens bijvoorbeeld wordt gepresenteerd met getallen met slechts twee decimalen, is het redelijk om te verwachten dat onze antwoorden ook met twee decimalen worden gepresenteerd. Nauwkeurig letten op het vereiste nauwkeurigheidsniveau is de sleutel tot het bepalen van het juiste aantal decimalen of significante cijfers.

Ronde hoeveelheden met onzekerheden en fouten

Bij het werken met metingen die gepaard gaan met fouten en onzekerheden, spelen de waarden met grotere fouten en onzekerheden een dominante rol bij het bepalen van de algehele onzekerheids- en foutwaarden. Bij het beantwoorden van vragen die een bepaald aantal decimalen of significante cijfers specificeren, is een aparte aanpak vereist.

Beschouw bijvoorbeeld twee waarden: (9.3 ± 0.4) en (10.2 ± 0.14). Wanneer we deze waarden optellen, moeten we ook hun onzekerheden toevoegen. De totale onzekerheid wordt berekend als de som van de absolute waarden van de individuele onzekerheden, wat in dit geval ±(0.4 + 0.14) = ±0.54 is. Afronden van 0.54 naar de dichtstbijzijnde tiende geeft ons 0.5. Dus het resultaat van het optellen van de twee getallen samen met hun onzekerheden en afronding is 19.5 ± 0.5.

Als we de taak krijgen om twee waarden te vermenigvuldigen, die beide onzekerheden hebben, en de voortgeplante totale fout moeten berekenen, kunnen we de percentagefout voor elke waarde berekenen en deze vervolgens optellen om de totale fout te verkrijgen. Bijvoorbeeld, als A = 3.4 ± 0.01 en B = 5.6 ± 0.1, worden de percentagefouten voor A en B berekend als (0.01 / 3.4) × 100% ≈ 0.29% en (0.1 / 5.6) × 100% ≈ 1.78% respectievelijk. De totale fout is de som van deze percentagefouten, wat ongeveer 2.07% is. Als we het antwoord tot op één decimaal moeten benaderen, kunnen we eenvoudigweg het eerste decimaalcijfer nemen of het getal afronden volgens de standaard afrondingsregels.

Samengevat, onzekerheden en fouten introduceren variabiliteit in metingen en de bijbehorende berekeningen. Het rapporteren van onzekerheden is cruciaal omdat het gebruikers in staat stelt het potentiële bereik van variatie in de gemeten waarden te begrijpen. Fouten en onzekerheden verspreiden zich tijdens berekeningen met gegevens met dergelijke onvolkomenheden, en het is essentieel om de fout van de gegevens met de grootste fout of onzekerheid te overwegen. Berekenen hoe fouten zich verspreiden is waardevol omdat het ons in staat stelt de betrouwbaarheid van onze resultaten te beoordelen.